Co je to konsonance?

V předchozí poznámce jsme zjistili, jak funguje zvuk. Zopakujme tento vzorec:

ZVUK = UZEMNĚNÝ TÓN + VŠECHNY VÍCE PŘESNĚNÍ

Kromě toho, jak Japonci obdivují třešňové květy, budeme obdivovat i graf frekvenční odezvy – amplitudově-frekvenční charakteristiku zvuku (obr. 1):

Připomeňme, že vodorovná osa představuje výšku (kmitání) a svislá osa představuje hlasitost (amplitudu).

Každá svislá čára je harmonická, první harmonická se obvykle nazývá základní. Harmonické jsou uspořádány následovně: druhá harmonická je 2x vyšší než základní tón, třetí je tři, čtvrtá jsou čtyři a tak dále.

Pro stručnost místo „frekvence nharmonická“ řekneme jednoduše „nharmonická“ a místo „základní frekvence“ – „zvuková frekvence“.

Při pohledu na frekvenční odezvu pro nás tedy nebude těžké odpovědět na otázku, co je to konsonance.

Jak počítat do nekonečna?

Souzvuk doslova znamená „spoluznělý“, společný zvuk. Jak mohou znít dva různé zvuky dohromady?

Nakreslíme je do stejného grafu pod sebe (obr. 2):

Zde je odpověď: některé harmonické se mohou frekvenčně shodovat. Je logické předpokládat, že čím více shodných frekvencí, tím více „běžných“ zvuků mají, a tím více konsonance ve zvuku takového intervalu. Abychom byli úplně přesní, není důležitý pouze počet odpovídajících harmonických, ale jaký podíl všech znějících harmonických se shoduje, tedy poměr počtu odpovídajících k celkovému počtu znějících harmonických.

Získáme nejjednodušší vzorec pro výpočet konsonance:

kde N_sovp je počet odpovídajících harmonických,  N_společný je celkový počet znějících harmonických (počet různých znějících frekvencí) a cons a je to naše požadovaná shoda. Aby to bylo matematicky správné, je lepší zavolat množství míra frekvenční konsonance.

No, záležitost je malá: musíte počítat N_sovp и N_společný, rozdělte jeden po druhém a získejte požadovaný výsledek.

Jediným problémem je, že jak celkový počet harmonických, tak i počet odpovídajících harmonických je nekonečný.

Co se stane, když vydělíme nekonečno nekonečnem?

Změníme měřítko předchozího grafu, „odstoupíme“ od něj (obr. 3)

Vidíme, že odpovídající harmonické se objevují znovu a znovu. Obrázek se opakuje (obr. 4).

Toto opakování nám pomůže.

Stačí, když v jednom z tečkovaných obdélníků (např. v prvním) spočítáme poměr (1), pak díky opakování a na celé čáře tento poměr zůstane stejný.

Pro jednoduchost bude frekvence základního tónu prvního (nižšího) zvuku považována za rovnou jednotce a frekvence základního tónu druhého zvuku bude zapsána jako neredukovatelný zlomek.  .

V závorce poznamenejme, že v hudebních systémech se zpravidla používají právě zvuky, jejichž poměr frekvencí je vyjádřen nějakým zlomkem  . Například interval kvinty je poměr  , litry –  , triton -   atd.

Vypočítejme poměr (1) uvnitř prvního obdélníku (obr. 4).

Je poměrně snadné spočítat počet odpovídajících harmonických. Formálně jsou dvě, jedna patří spodní hlásce, druhá – horní, na obr. 4 jsou vyznačeny červeně. Ale obě tyto harmonické znějí na stejné frekvenci, respektive, pokud spočítáme počet odpovídajících frekvencí, pak bude taková frekvence pouze jedna.

Jaký je celkový počet znějících frekvencí?

Pojďme se takto hádat.

Všechny harmonické spodního zvuku jsou seřazeny v celých číslech (1, 2, 3 atd.). Jakmile je jakákoli harmonická horního zvuku celým číslem, bude se shodovat s jednou z harmonických spodních. Všechny harmonické horního zvuku jsou násobky základního tónu , takže frekvence n-tá harmonická se bude rovnat:

to znamená, že to bude celé číslo (od m je celé číslo). To znamená, že horní zvuk v obdélníku má harmonické od prvního (základního tónu) do n-Oh, tedy zvuk n frekvence.

Protože všechny harmonické nižšího zvuku jsou umístěny v celých číslech a podle (3), první shoda nastává na frekvenci m, ukazuje se, že spodní zvuk uvnitř obdélníku dá m znějící frekvence.

Je třeba poznamenat, že koincidenční frekvence m opět jsme počítali dvakrát: když jsme počítali frekvence horního zvuku a když jsme počítali frekvence spodního zvuku. Ale ve skutečnosti je frekvence jedna a pro správnou odpověď budeme muset odečíst jednu „extra“ frekvenci.

Součet všech znějících frekvencí uvnitř obdélníku bude:

Dosazením (2) a (4) do vzorce (1) získáme jednoduchý výraz pro výpočet konsonance:

Chcete-li zdůraznit shodu zvuků, které jsme vypočítali, můžete tyto zvuky označit v závorkách cons:

Pomocí takového jednoduchého vzorce můžete vypočítat shodu libovolného intervalu.

A nyní se podívejme na některé vlastnosti frekvenční konsonance a příklady jejího výpočtu.

Vlastnosti a příklady

Nejprve spočítejme souhlásky pro nejjednodušší intervaly a ujistěte se, že vzorec (6) „funguje“.

Jaký interval je nejjednodušší?

Rozhodně prima. Dvě noty znějí unisono. Na grafu to bude vypadat takto:

Vidíme, že naprosto všechny znějící frekvence se shodují. Proto se shoda musí rovnat:

Nyní dosadíme poměr za unisono  do vzorce (6) dostaneme:

Výpočet se shoduje s „intuitivní“ odpovědí, kterou lze očekávat.

Vezměme si další příklad, ve kterém je intuitivní odpověď stejně zřejmá – oktáva.

V oktávě je horní zvuk 2krát vyšší než spodní (podle frekvence základního tónu), respektive na grafu to bude vypadat takto:

Z grafu je vidět, že každá druhá harmonická se shoduje a intuitivní odpověď zní: konsonance je 50 %.

Vypočítejme to podle vzorce (6):

A opět, vypočítaná hodnota se rovná „intuitivní“.

Vezmeme-li notu jako spodní zvuk na a vyneste do grafu hodnotu konsonance pro všechny intervaly v rámci oktávy (jednoduché intervaly), dostaneme následující obrázek:

Nejvyšší míry konsonance jsou v oktávě, kvintě a kvartě. Historicky odkazovaly na „dokonalé“ souzvuky. Malá a velká tercie a malá a velká sexta jsou o něco nižší, tyto intervaly jsou považovány za „nedokonalé“ konsonance. Zbytek intervalů má nižší stupeň konsonance, tradičně patří do skupiny disonancí.

Nyní uvedeme některé vlastnosti míry frekvenční konsonance, které vycházejí ze vzorce pro její výpočet:

1. Čím složitější poměr  (čím větší číslo m и n), tím méně souhláskový interval.

И m и n ve vzorci (6) jsou ve jmenovateli, proto, jak tato čísla rostou, míra konsonance klesá.

2. Vzestupná konsonance intervalu se rovná sestupné konsonanci intervalu.

Abychom získali interval dolů místo intervalu nahoru, potřebujeme v poměru   výměna m и n. Ale ve vzorci (6) se od takové náhrady nezmění absolutně nic.

3. Míra frekvenční konsonance intervalu nezávisí na tom, z jaké noty jej budujeme.

Pokud posunete obě noty o stejný interval nahoru nebo dolů (například postavte kvintu nikoli z noty na, ale z pozn re), pak poměr  mezi tóny se nezmění, a proto míra frekvenční konsonance zůstane stejná.

Mohli bychom dát i jiné vlastnosti konsonance, ale prozatím se omezíme na tyto.

Fyzika a texty písní

Obrázek 7 nám dává představu o tom, jak funguje konsonance. Ale opravdu takto vnímáme konsonanci intervalů? Existují lidé, kteří nemají rádi dokonalé souzvuky, ale ty nejdisonantnější harmonie působí příjemně?

Ano, takoví lidé určitě existují. A abychom to vysvětlili, je třeba rozlišovat dva pojmy: fyzická konsonance и vnímaná konsonance.

Vše, co jsme v tomto článku zvažovali, souvisí s fyzickou konsonancí. Chcete-li to vypočítat, musíte vědět, jak zvuk funguje a jak se různé vibrace sčítají. Fyzická konsonance poskytuje předpoklady pro vnímanou konsonanci, ale neurčuje ji na 100 %.

Vnímaná konsonance se určuje velmi jednoduše. Člověk je dotázán, zda se mu tato konsonance líbí. Pokud ano, pak je to pro něj shoda; pokud ne, je to disonance. Pokud dostane pro srovnání dva intervaly, pak můžeme říci, že jeden z nich bude osobě v tuto chvíli připadat více souhláskový, druhý méně.

Lze vypočítat vnímanou konsonanci? I když předpokládáme, že je to možné, pak tento výpočet bude katastrofálně komplikovaný, bude zahrnovat ještě jedno nekonečno – nekonečno člověka: jeho zkušenosti, sluchové vlastnosti a mozkové schopnosti. S touto nekonečností není tak snadné se vypořádat.

Výzkum v této oblasti však pokračuje. Zejména skladatel Ivan Soshinsky, který laskavě poskytuje zvukové materiály pro tyto poznámky, vyvinul program, pomocí kterého můžete vytvořit individuální mapu vnímání konsonancí pro každého člověka. V současné době se vyvíjí stránka mu-theory.info, kde se může kdokoli otestovat a zjistit vlastnosti svého sluchu.

A přesto, pokud existuje vnímaná shoda a liší se od fyzického, jaký má smysl vypočítávat to druhé? Tuto otázku můžeme přeformulovat konstruktivnějším způsobem: jak spolu tyto dva pojmy souvisí?

Studie ukazují, že korelace mezi průměrnou vnímanou konsonancí a fyzickou konsonancí je řádově 80 %. To znamená, že každý člověk může mít své vlastní individuální vlastnosti, ale fyzika zvuku výrazně přispívá k definici konsonance.

Vědecký výzkum v této oblasti je samozřejmě stále na samém začátku. A jako zvukovou strukturu jsme vzali poměrně jednoduchý model více harmonických a výpočet konsonance byl použit nejjednodušší – frekvenční a nezohledňoval zvláštnosti činnosti mozku při zpracování zvukového signálu. Ale skutečnost, že i v rámci těchto zjednodušení bylo dosaženo velmi vysokého stupně korelace mezi teorií a experimentem, je velmi povzbuzující a stimuluje další výzkum.

Aplikace vědecké metody v oblasti hudební harmonie se neomezuje pouze na výpočet konsonance, přináší i zajímavější výsledky.

Například pomocí vědecké metody lze hudební harmonii zobrazit graficky, vizualizovat. Jak na to, si povíme příště.

Autor – Roman Oleinikov